Număr piramidal pătrat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cele Numerele piramidale pătrate aparțin numerelor figurate , mai exact la numerele piramidale . Acestea cuantifică numărul de sfere care pot fi utilizate pentru a construi o piramidă cu o bază pătrată. Deoarece graficul de mai jos prezintă exemplul celui de-al patrulea pătrat Pyramidalzahl 30, acestea sunt sumele primelor numere pătrate .

Număr piramidal pătrat.svg

În cele ce urmează , reprezintă numărul piramidală pătratică -lea.

Se aplică

.

Primele numere piramidale pătratice sunt

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... (secvența A000330 în OEIS )

Pentru unii autori, zero nu este un număr piramidal pătratic, deci succesiunea numerelor începe doar cu cea.

Funcție generatoare

Funcția generatoare a numerelor piramidale pătratice este

Relațiile cu alte numere figurate, reprezentări ulterioare

Se aplică

cu coeficienții binomiali și

cu numerele tetraedrice .

În plus, cu al treilea număr triunghiular:

Numere figurate conexe

Alții

  (Urmați A159354 în OEIS )

Derivarea formulei empirice

Diferența dintre două numere pătrate consecutive este întotdeauna un număr impar. Mai precis, datorită faptului că diferența dintre numărul pătrat al -și -lea este. Aceasta oferă următoarea schemă:

Un număr pătrat poate fi astfel reprezentat ca suma numerelor impare, adică se aplică . Această afișare sumă este acum utilizată pentru a afișa suma primelor numere pătrate prin intermediul unui set de numere impare dispuse într-un triunghi. Suma tuturor numerelor impare din triunghi corespunde exact sumei primelor numere pătrate.

Acum aranjați aceleași numere impare în alte două moduri pentru a forma un triunghi congruent.

    

Dacă puneți aceste triunghiuri una peste alta, atunci suma fiecărei coloane formate din trei numere este întotdeauna constantă și există astfel de coloane. Deci suma tuturor numerelor impare ale celor trei triunghiuri este exact de trei ori suma primelor numere pătrate. Se aplică următoarele:

Vezi si

literatură