Număr piramidal pătrat

Cele Numerele piramidale pătrate aparțin numerelor figurate , mai exact la numerele piramidale . Acestea cuantifică numărul de sfere care pot fi utilizate pentru a construi o piramidă cu o bază pătrată. Deoarece graficul de mai jos prezintă exemplul celui de-al patrulea pătrat Pyramidalzahl 30, acestea sunt sumele primelor numere pătrate .

În cele ce urmează , reprezintă numărul piramidală pătratică -lea.

Se aplică

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2 } + 4 ^ {2} + \ ldots n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ { 2} + n} {6}}}$

.

Primele numere piramidale pătratice sunt

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... (secvența A000330 în OEIS )

Pentru unii autori, zero nu este un număr piramidal pătratic, deci succesiunea numerelor începe doar cu cea.

Funcția generatoare a numerelor piramidale pătratice este

${\ displaystyle {\ frac {x (x + 1)} {(x-1) ^ {4}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {Pyr} _ {4} ( n) x ^ {n} = \ mathbf {1} x + \ mathbf {5} x ^ {2} + \ mathbf {14} x ^ {3} + \ mathbf {30} x ^ {4} + \ mathbf {55} x ^ {5} + \ ldots}$

Se aplică

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ binom {n + 2} {3}} + {\ binom {n + 1} {3}}}$

cu coeficienții binomiali și

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ frac {1} {4}} \ operatorname {Pyr} _ {3} (2n)}$

cu numerele tetraedrice .

În plus, cu al treilea număr triunghiular:

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = \ Delta _ {n} +2 \ operatorname {Pyr} _ {3} (n-1)}$

• Celelalte numere piramidale , de ex. B. numerele tetraedrice .
• Suma a două numere piramidale pătratice consecutive este un număr octaedric .

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {6} {n (n + 1) (2n + 1)}} = 18-24 \ ln (2) = 1 {,} 3644676665 \ ldots}$

  (Urmați A159354 în OEIS )

Diferența dintre două numere pătrate consecutive este întotdeauna un număr impar. Mai precis, datorită faptului că diferența dintre numărul pătrat al -și -lea este. Aceasta oferă următoarea schemă:

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccccccccccccccc} 0 && 1 && 4 && 9 && 16 && 25 & \ ldots & (n-1) ^ {2} && n ^ {2} \\ & 1 && 3 && 5 && 7 && 9 && \ ldots && 2n-1 & \ end {array}}}$

Un număr pătrat poate fi astfel reprezentat ca suma numerelor impare, adică se aplică . Această afișare sumă este acum utilizată pentru a afișa suma primelor numere pătrate prin intermediul unui set de numere impare dispuse într-un triunghi. Suma tuturor numerelor impare din triunghi corespunde exact sumei primelor numere pătrate.

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccccccc} \ scriptstyle 1 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 &&&&&&& \\\ scriptstyle 2 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 &&&&&& \\\ scriptstyle 3 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 &&&&& \\\ scriptstyle 4 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 & 7 &&&& \\ \ scriptstyle 5 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 &&& \\\ vdots quad \ vline & \ vdots &&&&&& ddots && \\\ scriptstyle (n-1) ^ { 2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & \ cdots &&&& \ cdots & \ scriptstyle 2n-3 & \\\ scriptstyle n ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & \ cdots &&&& \ cdots & \ scriptstyle 2n-3 & \ scriptstyle 2n-1 \ end {array}}}$

Acum aranjați aceleași numere impare în alte două moduri pentru a forma un triunghi congruent.

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} \ scriptstyle 2n-1 &&&&&& \\\ scriptstyle 2n-3 & \ scriptstyle 2n-3 &&&&&\\ vdots && \ ddots &&&& \\ 9 & \ cdots & \ cdots & 9 &&&& \\ 7 & \ cdots & \ cdots & 7 & 7 &&& \\ 5 & \ cdots & \ cdots & 5 & 5 & 5 \\ 3 & \ cdots & \ cdots & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & \ cdots & \ cdots & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ hline \ scriptstyle = n ^ {2} & \ scriptstyle = (n -1) ^ {2} & \ cdots & \ scriptstyle = 5 ^ {2} & \ scriptstyle = 4 ^ {2} & \ scriptstyle = 3 ^ {2} & \ scriptstyle = 2 ^ {2} & \ scriptstyle = 1 ^ {2} \ end {array}}}$

    

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} 1 &&&&&&& \\ 3 & 1 &&&&&&&&\ 5 & 3 & 1 &&&&& \\ 7 & 5 & 3 & 1 &&&& \\ 9 & 7 & 5 & 3 & 1 &&& \\\ vdots &&&&& \ ddots & \ && \\ script \ 2n-1 & \ scriptstyle 2n-3 &&&& \ cdots & 3 & 1 \\\ hline \ scriptstyle = n ^ {2} & \ scriptstyle = (n-1 ) ^ {2} & \ cdots & \ scriptstyle = 5 ^ {2} & \ scriptstyle = 4 ^ {2} & \ scriptstyle = 3 ^ {2} & \ scriptstyle = 2 ^ {2} & \ scriptstyle = 1 ^ {2} \ end {array}}}$

Dacă puneți aceste triunghiuri una peste alta, atunci suma fiecărei coloane formate din trei numere este întotdeauna constantă și există astfel de coloane. Deci suma tuturor numerelor impare ale celor trei triunghiuri este exact de trei ori suma primelor numere pătrate. Se aplică următoarele:

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}}$

• Formula Faulhaber

• John H. Conway, Richard Guy: Cartea numerelor . Springer, 1996, ISBN 9780387979939 , pp. 47-50 ( extras (Google) )

• Eric W. Weisstein : Număr piramidal pătrat . În: MathWorld (engleză).